Question

5．函數(shù)f（x）和g（x）的定義域均是（-$\frac{1}{2}$，+∞），其中f（x）=2（x+1）e^x+3，g（x）=x²+4x+2，則不等式f（x）＞g（x）+2e³-2的解集是（${e}^{\frac{5}{2}}$-2e³-2，+∞）（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

Answer 1

分析 令h（x）=f（x）-g（x）-2e³+2，求出h（x）的單調(diào)性，得到h（x）＞0的解集即原不等式的解集．

解答 解：∵f（x）=2（x+1）e^x+3，g（x）=x²+4x+2，
f（x）＞g（x）+2e³-2，
即f（x）-g（x）-2e³+2＞0，
令h（x）=f（x）-g（x）-2e³+2，
則h′（x）=f′（x）-g′（x）=（x+2）（e^x+3-1），
∵f（x）和g（x）的定義域均是（-$\frac{1}{2}$，+∞），
∴h′（x）＞0，
∴h（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
∴h（x）＞h（-$\frac{1}{2}$）=${e}^{\frac{5}{2}}$-2e³-2，
故不等式的解集是：（${e}^{\frac{5}{2}}$-2e³-2，+∞）．

點評 本題考查了解不等式問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．