Question

20．如圖，四邊形OQRP為矩形，其中P，Q分別是函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinwx（A＞0，w＞0）圖象上的一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，R為圖象與x軸的交點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式
（2）對于x∈[0，3]，方程f²（x）-af（x）+1=0恒有四個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知P（$\frac{π}{2w}$，$\sqrt{3}$），Q（$\frac{3π}{2w}$，-$\sqrt{3}$），從而利用平面向量垂直求解析式；
（2）由題意知方程x²-ax+1=0在[0，$\sqrt{3}$）上有兩個不同的解，從而解得．

解答 解：（1）由題意知，wx=$\frac{π}{2}$，故P（$\frac{π}{2w}$，$\sqrt{3}$），
wx=$\frac{3π}{2}$，故Q（$\frac{3π}{2w}$，-$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{π}{2w}$•$\frac{3π}{2w}$-3=0，
故w=$\frac{π}{2}$；
故f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x；
（2）結(jié)合函數(shù)f（x）在[0，3]上的圖象，
∵對于x∈[0，3]，方程f²（x）-af（x）+1=0恒有四個不同的實(shí)數(shù)根，
∴方程x²-ax+1=0在[0，$\sqrt{3}$）上有兩個不同的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4＞0}\\{3-\sqrt{3}a+1＞0}\end{array}\right.$，
解得，2＜a＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用及方程與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用．