Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{6}$cosx（x∈R）．
（Ⅰ）若a∈[0，π]且f（a）=2，求a；
（Ⅱ）先將y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)θ（θ＞0）個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{4}$對稱，求θ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）有條阿金利用輔助角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用f（a）=2，求得a的值．
（Ⅱ）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得θ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{6}$cosx=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵a∈[0，π]，∴a+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∵f（a）=2$\sqrt{2}$sin（a+$\frac{π}{3}$）=2，
∴sin（a+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{4}$，∴a=$\frac{5π}{12}$．
（Ⅱ）先將y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），
得到 y=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)θ（θ＞0）個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=2$\sqrt{2}$sin（2x-2θ+$\frac{π}{3}$）的圖象，
再結(jié)合得到的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{4}$對稱，可得$\frac{3π}{2}$-2θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
求得θ=$\frac{2π}{3}$-$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，故θ的最小值為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查輔助角公式，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．