Question

6．如圖四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，圖中陰影部分（梯形剪去一個扇形）繞AB旋轉(zhuǎn)一周形成一個旋轉(zhuǎn)體．
（1）求該旋轉(zhuǎn)體的表面積；
（2）求該旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析 （1）旋轉(zhuǎn)體為圓臺挖去一個半球后的幾何體，圓臺的上下底面半徑為AD，BC，高為AB，半球的半徑為AD．于是幾何體的表面積為圓臺側(cè)面積與底面積半球面積的和；
（2）體積為圓臺體積與半球體積的差．

解答 解：（1）旋轉(zhuǎn)后的幾何體是一個圓臺從上面挖去一個半球，圓臺的上下底面半徑分別為2，5高為4，半球半徑為2．
圓臺的母線長為CD=$\sqrt{（5-2）^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴${S_{半球}}=\frac{1}{2}×4π×{2^2}=8π$，S_{圓臺側(cè)}=π×（2+5）×5=35π，${S_{圓臺底}}=π×{5^2}=25π$，
∴旋轉(zhuǎn)體的表面積為S_表=8π+35π+25π=68π．
（2）V_圓臺=$\frac{1}{3}$（4π+25π+10π）•4=52π，${V_{半球}}=\frac{4π}{3}×{2^3}×\frac{1}{2}=\frac{16π}{3}$，
∴旋轉(zhuǎn)體的體積為$V=52π-\frac{16π}{3}=\frac{140π}{3}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，面積與體積計算，屬于中檔題．