Question

18．一束光線l自A（-3，3）發(fā)出，射到x軸上的點(diǎn)M后，被x軸反射到⊙C：x²+y²-4x-4y+7=0上．
（1）求反射線通過圓心C時(shí)，光線l的方程；
（2）求滿足條件的入射點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用物理的光學(xué)知識(shí)可知入射光線上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)必在其反射線上，由于反射線過圓心，有光線的可逆性知，反射線上的任意點(diǎn)圓心關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)也必在入射光線上，然后由入射光線上已知兩點(diǎn)寫出所求的直線方程；
（2）由題意和（1）可知反射線必過定點(diǎn)A′（次點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)），利用幾何知識(shí)知當(dāng)反射線與已知圓相切時(shí)恰好為范圍的臨界狀態(tài)．

解答 解：⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1
（1）C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（2，-2），過A，C′的方程：x+y=0為光線l的方程．
（2）A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（-3，-3），設(shè)過A′的直線為y+3=k（x+3），當(dāng)該直線與⊙C相切時(shí)，
有$\frac{|2k-2+3k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$或$\frac{3}{4}$．
∴過A′，⊙C的兩條切線為y+3=$\frac{4}{3}$（x+3），y+3=$\frac{3}{4}$（x+3），
令y=0，得x=-$\frac{3}{4}$或x=1
∴反射點(diǎn)M在x軸上的活動(dòng)范圍是[-$\frac{3}{4}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查已知直線上的兩點(diǎn)求解直線的方程；考查點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查解決問題是抓住臨界狀態(tài)這一特殊位置求解的思想．