Question

（2013•廣州二模）在等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，記數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_ntS_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的m，n值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，依題意，得到關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，解之即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法可求得S_n=

n

3n+1

，假設(shè)存在正整數(shù)m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比數(shù)列，可求得n=

4m2

-3m2+6m+1

，從而得1＜m＜1+

2 3

3

＜3，由m∈N^*，可求得m=2，繼而可求得n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，因?yàn)?span id="wenilhv" class="MathJye">

a1+a2=-5 a3=7

，即

2a1+d=5 a1+2d=7

…2
解得

a1=1 d=3

…3
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3n-2（n∈N^*）…4
（2）∵

1

anan+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）…5
∴數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和
S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

3

（1-

1

4

）+

1

3

（

1

4

-

1

7

）+

1

3

（

1

7

-

1

10

）+…+

1

3

（

1

3n-5

-

1

3n-2

）+

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）
=

1

3

（1-

1

3n+1

）=

n

3n+1

…7
假設(shè)存在正整數(shù)m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比數(shù)列，
則Sm2=S₁•S_n…8
即(

m

3m+1

)2=

1

4

×

n

3n+1

…9
∴n=

4m2

-3m2+6m+1

，
因?yàn)閚＞0，所以-3m²+6m+1＞0，即3m²-6m-1＜0，
因?yàn)閙＞1，所以1＜m＜1+

2 3

3

＜3，
因?yàn)閙∈N^*，所以m=2…12
∴存在滿意的正整數(shù)m=2，n=16，且只有一組解，即數(shù)m=2，n=16．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、裂項(xiàng)法求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于難題．