Question

在四邊形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=

3

，求：
（1）AB的長
（2）四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由∠BCD-∠ACB求出∠ACD度數(shù)，再由∠BDC度數(shù)求出∠DAC度數(shù)，進而得到∠ACD=∠DAC，利用等角對等邊得到AD=DC=

3

，在三角形BCD中，求出∠CBD的度數(shù)，利用正弦定理列出關(guān)系式，求出BD的長，在三角形ABD中，利用余弦定理即可求出AB的長；
（2）利用三角形面積公式分別求出三角形ABD與三角形BCD面積，之和即為四邊形ABCD面積．

解答： 解（1）∵∠BCD=75°，∠ACB=45°，
∴∠ACD=30°，
又∵∠BDC=45°，
∴∠DAC=180°-（75°+45°+30°）=30°，
∴AD=DC=

3

，
在△BCD中，∠CBD=180°-（75°+45°）=60°，
由正弦定理得：

BD

sin∠BCD

=

DC

sin∠CBD

，即

BD

sin75°

=

DC

sin60°

，
∴BD=

3 sin75°

sin60°

=

6 + 2

2

，
在△ABD中，由余弦定理得：AB²=AD²+BD²-2×AD×BD×cos75°=5，
∴AB=

5

；
（2）由題意得：S_△ABD=

1

2

×AD×BD×sin75°=

3+2 3

4

，S_△BCD=

1

2

×CD×BC×sin75°=

3+ 3

4

，
則四邊形ABCD的面積S=S_△ABD+S_△BCD=

6+3 3

4

．

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．