Question

20．已知a＞0，函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是（0，3]．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即f′（x）=3x²-a≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立，
∵3x²≥3，
∴0＜a≤3，
即實數(shù)a的取值范圍是（0，3]，
故答案為：（0，3]．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化f′（x）≥0恒成立是解決本題的關(guān)鍵．