Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CC₁=3，BC=4，G是AB₁和A₁B的交點(diǎn)，若C₁G⊥A₁C．
（I） 求CA的長(zhǎng)．
（II） 求點(diǎn)A到平面A₁BC₁的距離；
（III） 求二面角C₁-A₁B-C的大�。�

Answer 1

分析：（I）軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到

C1G

=（2，-

3

2

，-

h

2

），

A1C

=（0，-3，-h），進(jìn)而結(jié)合題意得到h=3．
（II）設(shè)平面A₁BC₁得法向量

n1

=（a，b，c），根據(jù)題意求出

n1

=（3，4，0），遞減向量的射影進(jìn)而求出點(diǎn)A到平面A₁BC₁的距離．
（III）設(shè)平面A₁BC的法向量為

n2

=（x，y，z），由題意可得

n2

=（0，1，-1），再利用向量之間的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角得到答案．

解答：解：（I）分別以直線C₁B₁、CC₁、C₁A₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)|CA|=h，則C₁（0，0，0），B₁（4，0，0），B（4，-3，0），C（0，-3，0），A₁（0，0，h），A（0，-3，h），G（2，-

3

2

，-

h

2

）
∴

C1G

=（2，-

3

2

，-

h

2

），

A1C

=（0，-3，-h）
∴

C1G

•

A1C

=0，
∴h=3
（II）設(shè)平面A₁BC₁得法向量

n1

=（a，b，c），
由題意可得：

C1A1

=(0，0，3)，

C1B

=(4，-3，0)
所以

C1A1 •  n1 =0 C1B • n1 =0

，即

c=0 4a-3b=0

，
 則取

n1

=（3，4，0），
∴點(diǎn)A到平面A₁BC₁的距離為h=|

(0，-3，-3)•(3，4，0)

5

|=

12

5

…（8分）
（III）設(shè)平面A₁BC的法向量為

n2

=（x，y，z），
由題意可得：

CB

=(4，0，0)，

CA1

=(0，3，3)，
所以

CB • n2  =0 CA1 • n2 =0

，即

x=0 y+z=0

，
 則可求得

n2

=（0，1，-1），
∴二面角C₁-A₁B-C的大小θ滿足cosθ=

(3，4，0)•(0，1，-1)

5× 2

=

2 2

5

∴二面角C₁-A₁B-C的大小為arccos

2 2

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，點(diǎn)到面的距離，以及求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角及向量長(zhǎng)度問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．