Question

在公差為d的等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=10和2a₂+2與5a₃成等比數(shù)列．
（1）求d及a_n；
（2）若b_n=|a_n|，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T₁₅．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）當(dāng)a_n=4n+6時(shí)，b_n=|a_n|=a_n，直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出T₁₅；當(dāng)a_n=11-n時(shí)，由a_n≥0，解得n≤11，可得b_n=|a_n|=

11-n，n≤11 n-11，n≥12

，分類討論再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出T₁₅．

解答： 解：（1）∵a₁=10和2a₂+2與5a₃成等比數(shù)列．
∴(2a2+2)2=a1×5a3，
∴4（10+d+1）²=50（10+2d），化為d²-3d-4=0，
解得d=4或-1．
∴a_n=10+4（n-1）=4n+6，或a_n=10-（n-1）=11-n．
∴a_n=4n+6，或a_n=11-n．
（2）當(dāng)a_n=4n+6時(shí)，b_n=|a_n|=a_n，T₁₅=

15(10+4×15+6)

2

=570；
當(dāng)a_n=11-n時(shí)，由a_n≥0，解得n≤11，
∴b_n=|a_n|=

11-n，n≤11 n-11，n≥12

，
∴T₁₅=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-…-a₁₅
=

11(10+11-11)

2

+1+2+3+4
=55+10
=65．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、絕對(duì)值數(shù)列，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．