Question

已知橢圓，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中：

（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線(xiàn)與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線(xiàn)交于，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1） ，；（2）存在定點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，由點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出基本量即得；（2）巧設(shè)直線(xiàn)的方程為，由直線(xiàn)與橢圓相切，求得，利用直線(xiàn)與的準(zhǔn)線(xiàn)相交求點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出以為直徑的圓的方程，利用恒成立求解.

試題解析：（1）設(shè)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，∵和代入拋物線(xiàn)方程中得到的解相同，∴，      （3分）

又和在橢圓上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，，則，

的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，.        （6分）

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，將其代入消去并化簡(jiǎn)整理得：

，又直線(xiàn)與橢圓相切，

∴，∴，     （8分）

設(shè)切點(diǎn)，則，，

又直線(xiàn)與的準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)，

∴以為直徑的圓的方程為，      （10分）

化簡(jiǎn)整理得恒成立，

故，，即存在定點(diǎn)符合題意.       （13分）

考點(diǎn)： 橢圓、拋物線(xiàn)的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直線(xiàn)與圓橢圓的關(guān)系，定點(diǎn)問(wèn)題.