如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求證AM⊥平面BDF;
(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大小。
解:(Ⅰ)設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,
∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn),ACEF是矩形,
∴四邊形AOEM是平行四邊形,
∴AM∥OE,
∵OE平面BDE,平面BDE,
∴AM∥平面BDE。
(Ⅱ)∵BD⊥AC,BD⊥AF,且AC交AF于A,
∴BD⊥平面AE,
又因?yàn)锳M平面AE,
∴BD⊥AM,
∴AD=,AF=1,OA=1,
∴AOMF是正方形,
∴AM⊥OF,
又AM⊥BD,且OF∩BD=O,
∴AM⊥平面BDF。
(Ⅲ)設(shè)AM∩OF=H,過H作HG⊥DF于G,連結(jié)AG,
由三垂線定理得AG⊥DF,
∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角,
,
,
∴∠AGH=60°,
∴二面角A-DF-B的大小為60°。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=
2
,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,過正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB,CD于M,N,則當(dāng)
MN
BN
最小時(shí),CN=
5
-1
2
5
-1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=
2
,CE=2
2
,CE∥AF,AC⊥CE,
ME
=2
FM

(I)求證:CM∥平面BDF;
(II)求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大;
(III)求二面角A-DF-B的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=
2
,AF=1

(1)求二面角A-DF-B的大;
(2)在線段AC上找一點(diǎn)P,使PF與AD所成的角為60°,試確定點(diǎn)P的位置.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳二模)如圖,已知正方形ABCD在水平面上的正投影(投影線垂直于投影面)是四邊形A′B′C′D′,其中A與A'重合,且BB′<DD′<CC′.
(1)證明AD′∥平面BB′C′C,并指出四邊形AB′C′D′的形狀;
(2)如果四邊形中AB′C′D′中,AD′=
2
,AB′=
5
,正方形的邊長為
6
,求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值.

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