已知函數(shù)f(x)=lnx-m(x-
1
x
)(m為實(shí)常數(shù))
(1)當(dāng)m=
2
5
時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(2)若函數(shù)f(x)無極值點(diǎn),求m的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)m=
2
5
時(shí),f(x)=lnx-
2
5
(x-
1
x
),求導(dǎo)數(shù)f′(x),利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性即可求得其最大值;
(2)求出函數(shù)的定義域(0,+∞),導(dǎo)數(shù)f′(x)=
-mx2+x-m
x2
,f(x)無極值點(diǎn),則f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào),即f′(x)≥0,或f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,分情況討論,分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可解決;
解答:解:(1)當(dāng)m=
2
5
時(shí),f(x)=lnx-
2
5
(x-
1
x
),
令f′(x)=
1
x
-
2
5
(1+
1
x2
)=-
(2x-1)(x-2)
5x2
=0,得x=2或x=
1
2
(舍去),
當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(2,e)時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)在(1,2)上遞增,在(2,e)上遞減,
∴當(dāng)x=2時(shí),f(x)max=f(2)=ln2-
3
5
;
(2)f(x)定義域(0,+∞),
f′(x)=
1
x
-m (1+
1
x2
)=
-mx2+x-m
x2

由題意,f(x)無極值點(diǎn),則f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào),分如下情況討論:
①若f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,則-mx2+x-m≥0,即m≤
x
1+x2
在(0,+∞)上恒成立,
當(dāng)x>0時(shí),
x
1+x2
=
1
1
x
+x
∈(0,
1
2
],∴m≤0;
②若f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,則-m2+x-m≤0,即m≥
x
1+x2
在(0,+∞)上恒成立,
當(dāng)x>0時(shí),
x
1+x2
=
1
1
x
+x
∈(0,
1
2
],∴m≥
1
2

綜①②,函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)時(shí),m的取值范圍是(-∞,0]∪[
1
2
,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、閉區(qū)間上函數(shù)的最值,考查基本不等式求最值,考查分類討論思想,考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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