Question

12．已知函數(shù)f（x）=a$\sqrt{x}$+b（lnx+1）+1的圖象在x=1處的切線方程為x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）證明：當x＞0時，恒有$\sqrt{x}$＞lnx；
（Ⅲ）當x∈（0，+∞）時，f（x）≥（m-1）x+$\sqrt{x}$-1，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數(shù)，利用f（x）在x=1處的切線方程為x+2y-3=0，建立方程組，即可求a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\sqrt{x}-lnx$，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，得出f（x）≥f（4）=2-ln4＞0，即可證明：當x＞0時，恒有$\sqrt{x}$＞lnx；
（Ⅲ）$f（x）≥（m-1）x+\sqrt{x}-1$，即$m≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，構造函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，求出最小值，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{a}{{2\sqrt{x}}}+\frac{x}$，f（x）在x=1處的切線方程為x+2y-3=0
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1\\ f'（1）=-\frac{1}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a+b+1=1\\ \frac{a}{2}+b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\sqrt{x}-lnx$，
∴$f'（x）=\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{1}{x}=\frac{{\sqrt{x}-2}}{2x}$
當x∈（0，4），f'（x）＜0，當x∈（4，+∞），f'（x）＞0，
∴f（x）≥f（4）=2-ln4＞0，即$\sqrt{x}＞lnx$
解：（Ⅲ）$f（x）≥（m-1）x+\sqrt{x}-1$，
即$m≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立
設$g（x）=1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$則${g^'}（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1-lnx}{x^2}=\frac{lnx-2}{x^2}$
易得g（x）在（0，e²）上單調遞減，在（e²，+∞）上單調遞增，
所以$g{（x）_{min}}=g（{e^2}）=1-\frac{1}{e^2}$
所以$m≤1-\frac{1}{e^2}$．

點評 熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、導數(shù)的幾何意義、切線方程、善于把問題恰當轉化為已經(jīng)證明的問題是解題的關鍵．