Question

等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，其第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使a1+a2+…+an＞

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，依題意有（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，可得 a₁q⁹=1，不等式即

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，
求出 n＞19，由n∈N_*，可得n的最小值為20．

解答：解：設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，依題意有（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，∴a₁q⁹=1．
∵{a_n}為等比數(shù)列，∴{

1

an

}是以

1

a1

為首項(xiàng)，

1

q

為公比的等比數(shù)列．
只需

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，∵q＞1，把a(bǔ)₁²=q^-18代入整理，得q-18(qn-1)＞q(1-

1

qn

)，
∴qⁿ＞q¹⁹，∴n＞19，∵n∈N_*，∴n的最小值為20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得到

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，是解題的關(guān)鍵