(06年湖北卷文)(12分)

如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為1,M是底面BC邊上的中點,N是側(cè)棱CC1上的點,且CN=2C1N.

(Ⅰ)求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值;

(Ⅱ)求點B1到平面AMN的距離。

解析:解法1:(Ⅰ)因為M是底面BC邊上的中點,所以AMBC,又AMC,所以AM面BC,從而AMM, AMNM,所以MN為二面角,―AM―N的平面角。又M=,MN=,

      

 

N,得N=,在MN中,由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。

(Ⅱ)過在面內(nèi)作直線,為垂足。又平面,所以AMH。于是H平面AMN,故H即為到平面AMN的距離。在中,H=M。故點到平面AMN的距離為1。

解法2:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標系,

(0,0,1),M(0,,0),

C(0,1,0), N (0,1,) , A (),所以,

,,。

因為

所以,同法可得。

為二面角―AM―N的平面角

故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。

(Ⅱ)設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個法向量,則由

 故可取

設(shè)與n的夾角為a,則。

所以到平面AMN的距離為。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(06年湖北卷文)(12分)

如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為1,M是底面BC邊上的中點,N是側(cè)棱CC1上的點,且CN=2C1N.

(Ⅰ)求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值;

(Ⅱ)求點B1到平面AMN的距離。

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