（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點 

(1)求證  CD⊥PD;

(2)求證  EF∥平面PAD;

(3)當平面PCD與平面ABCD成角時，求證：直線EF⊥平面PCD。

 

證明 ： (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD  (4分)

(2)取CD中點G，連EG、FG，

∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，F(xiàn)G∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD（8分）

(3）G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，

故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 

即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌ Rt△ CBE,得PE=CE又F是PC的中點，

∴EF⊥ PC，由CD⊥ EG，CD⊥ FG，得CD⊥ 平面EFG，CD⊥ EF

即EF⊥ CD，故EF⊥ 平面PCD  （12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江西高安中學高二上期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）

如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ，為的中點．

（1）當時，求平面與平面的夾角的余弦值；

（2）當為何值時，在棱上存在點，使平面？

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖北省八市高三3月聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，在長方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側(cè)棱，為中點，為中點，為上一個動點.

（Ⅰ）確定點的位置，使得；

（Ⅱ）當時，求二面角的平

面角余弦值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣西桂林中學高三7月月考試題理科數(shù)學 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點，F(xiàn)是AD的中點．

 ⑴求異面直線PD與AE所成角的大�。�

 ⑵求證：EF⊥平面PBC ；

 ⑶求二面角F—PC—B的大小．.

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年湖南省招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學 題型：解答題

 

（本題滿分12分）

如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點．

（I）證明：

（II）求直線和平面所成角的正弦值．

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年海南省高三五校聯(lián)考數(shù)學（文） 題型：解答題

（本題滿分12分）

如圖，三棱錐S—ABC中，AB⊥BC，D、E分別為AC、BC的中點，SA=SB=SC。

   （1）求證：BC⊥平面SDE；

   （2）若AB=BC=2，SB=4，求三棱錐S—ABC的體積。

 

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