Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx（a∈R）．
（1）當時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函數(shù)g（x），f₁（x），f₂（x），在公共定義域D上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就稱g（x）為f₁（x），
f₂（x）的“活動函數(shù)”．
已知函數(shù)．
若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活動函數(shù)”，
求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當 時，，；
對于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，
∴，．
（2）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活動函數(shù)”，則f₁（x）＜f（x）＜f₂（x）
令 ＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f₁（x）-f（x）=＜0對x∈（1，+∞）恒成立，
∵
1）若 ，令p′（x）=0，得極值點x₁=1，，
當x₂＞x₁=1，即 時，在（x₂，+∞）上有p′（x）＞0，
此時p（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；
當x₂＜x₁=1，即a≥1時，同理可知，p（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；
2）若 ，則有2a-1≤0，此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足 ，
所以 ≤a≤．
又因為h′（x）=-x+2a-=＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
綜合可知a的范圍是[，]．
分析：（1）由題意得 ，＞0，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，即可求出函數(shù)的最值．
（2）由題意得：令 ＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f₁（x）-f（x）=＜0對x∈（1，+∞）恒成立，分類討論當 或 時兩種情況求函數(shù)的最大值，可得到a的范圍．又因為h′（x）=-x+2a-=＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，可得到a的另一個范圍，綜合可得a的范圍．
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求函數(shù)的最值，利用最值解決恒成立問題，二對于新定義題型關(guān)鍵是弄清新概念與舊知識點之間的聯(lián)系即可，結(jié)合著我們已學的知識解決問題，這是高考考查的熱點之一．