Question

（2012•武昌區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）=2ln（2x）+x²．
（I）若函數(shù)g（x）=f（x）+ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）設(shè)h（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若h（x）存在兩個零點m，n且2x₀=m+n，證明：函數(shù)h（x）在（x₀，h（x₀））處的切線不可能平行于x軸．

Answer 1

分析：（I）先將g（x）在（0，+∞）上遞增，轉(zhuǎn)化成g′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，最后根據(jù)分式函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求出實數(shù)a的取值范圍；
（II）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)h（x）在（x₀，h（x₀））處的切線可能平行于x軸，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)γ(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1在（1，+∞）上單調(diào)遞增，最后出現(xiàn)矛盾，說明假設(shè)不成立，即切線不能否平行于x軸．

解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=ln（2x）+x²+ax，g′(x)=

2

2x

+2x+a=2x+

1

x

+a(x＞0)．
由已知，得g'（x）≥0對一切x∈（0，+∞）恒成立．
∴2x+

1

x

+a≥0，即a≥-(2x+

1

x

)對一切x∈（0，+∞）恒成立．
∵-(2x+

1

x

)≤-2

2

，∴a≥-2

2

．
∴a的取值范圍為[-2

2

，+∞)．  …（5分）
（Ⅱ）h（x）=2[ln（2x）+x²]-3x²-kx=2ln（2x）-x²-kx．
由已知得h（m）=2ln（2m）-m²-km=0，h（n）=2ln（2n）-n²-kn=0．
∴2ln

n

m

=(n2+kn)-(m2+km)，即2ln

n

m

=(n+m)(n-m)+k(n-m)．
假設(shè)結(jié)論不成立，即h'（x₀）=0，則

2

x0

-2x0-k=0，
∴k=

2

x0

-2x0．
又2x₀=m+n，
∴2ln

n

m

=(n+m)(n-m)+(

2

x0

-2x0)(n-m)=(n+m)(n-m)+(

4

m+n

-m-n)(n-m)=(n-m)

4

n+m

．
∴ln

n

m

=

2(n-m)

n+m

．
令

n

m

=t∈(1，+∞)，則有lnt=

2(t-1)

1+t

．
令γ(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．
∴γ′(t)=

1

t

-

2(t+1)-2(t-1)•(+1)

(1+t)2

=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(1+t2-4t)

t(1+t)2

=

(t-1)2

t(1+t)2

＞0．
∴γ（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t＞1時，γ（t）＞γ（1）=0，即lnt-

2(t-1)

1+t

＞0．
∴當(dāng)t＞1時，lnt=

2(t-1)

1+t

不可能成立，
∴假設(shè)不成立．
∴h（x）在（x₀，h（x₀））處的切線不平行于x軸．  …（14分）

點評：此題是個難題．本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零，根據(jù)解題要求選擇是否分離變量，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時考查了學(xué)生的靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計算能力．