Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于ΘO，且AB是的ΘO直徑，過(guò)點(diǎn)D的ΘO的切線(xiàn)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M．
（1）若MD=6，MB=12，求AB的長(zhǎng)；
（2）若AM=AD，求∠DCB的大�。�

Answer 1

選修4-1：幾何證明選講
解：（1）因?yàn)镸D為⊙O的切線(xiàn)，由切割線(xiàn)定理知，
MD²=MA•MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，…（2分），
所以MA=3，AB=12-3=9．…（5分）
（2）因?yàn)锳M=AD，所以∠AMD=∠ADM，連接DB，又MD為⊙O的切線(xiàn)，
由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，（7分）
又因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠ADB為直角，即∠BAD=90°-∠ABD．
又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，
于是90°-∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．…（8分）
又四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，所以∠BAD+∠DCB=180°，
所以∠DCB=120°…（10分）
分析：（1）利用MD為⊙O的切線(xiàn)，由切割線(xiàn)定理以及已知條件，求出AB即可．
（2）推出∠AMD=∠ADM，連接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通過(guò)AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角和180°，求出∠DCB即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的內(nèi)接多邊形，切割線(xiàn)定理的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．