Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-6．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的x∈[，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函數(shù)g（x）≥t²+t-2的最值．

Answer 1

解：由已知得切點(diǎn)（1，3），f′（x）=3ax²-2bx+9
（1）由題意可解得
f（x）=4x³-12x²+9x+2f′（x）=12x²-24x+9，
f′（x）=0得x=或，f′（x）＞0得x＞x＜，
f′（x）＜0＜x＜，f（x）的單調(diào)增區(qū)間（，+∞），（-∞，），
f（x）的單調(diào)減區(qū)間（，）

（2）由（1）可f（x）的極大值f（）=2，
f（）=f（2）=∴f（x）[，2]上的最小值2，
f（x）≥t²-2t-1x∈[，2]上恒成立，t²-2t-1≤2，t²-2t-3≤0，
解-1≤t≤3，g（x）=t²+t-2，
故t=時(shí)g（t）最小值-，t=3時(shí)g（t）最大值為10．
分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)f'（x）＜0，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，切點(diǎn)在函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式．再根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間．
（2）先由（1）可f（x）的極大值，及f（x）[，2]上的最小值2，f（x）≥t²-2t-1，x∈[，2]上恒成立，求得t的取值范圍，最后利用二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問(wèn)題，求得g（t）最值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，函數(shù)恒成立的條件．