Question

若函數(shù)滿足：集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù).
（1）判斷下列函數(shù)：①；②中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）
（2）證明：對(duì)任意的正奇數(shù)，函數(shù)不是等比源函數(shù)；
（3）證明：任意的，函數(shù)都是等比源函數(shù).

Answer 1

（1）①②都是等比源函數(shù)；（2）參考解析；（3）參考解析

解析試題分析：（1）函數(shù)滿足：集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù).由等比源函數(shù)的定義可知.令x=2,4,16.即可得函數(shù)對(duì)應(yīng)的三項(xiàng)為等比數(shù)列.令x=1,3,5即可得函數(shù)對(duì)應(yīng)的三項(xiàng)成等比數(shù)列.所以①②都是等比源函數(shù).
（2）對(duì)任意的正奇數(shù)，函數(shù)不是等比源函數(shù)，應(yīng)用反正法，假設(shè)存在三項(xiàng)，根據(jù)奇偶性的性質(zhì)即可得到假設(shè)不成立.從而得到證明.
（3）函數(shù)，對(duì)任意的是等比源函數(shù).至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列.通過(guò)證明存在三項(xiàng).即命題成立.
試題解析：（1）①②都是等比源函數(shù).4分
（2）證明：假設(shè)存在正整數(shù)且，使得成等比數(shù)列，
，整理得，
等式兩邊同除以得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9a/e/1wmtu3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，
所以等式不可能成立，
所以假設(shè)不成立，說(shuō)明對(duì)任意的正奇數(shù)，函數(shù)不是等比源函數(shù)10分
（3）因?yàn)槿我獾?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3b/9/eexpk1.png" style="vertical-align:middle;" />，都有，
所以任意的，數(shù)列都是以為首項(xiàng)公差為的等差數(shù)列.
由，（其中）可得
，整理得
，
令，則，
所以，
所以任意的，數(shù)列中總存在三項(xiàng)成等比數(shù)列.
所以任意的，函數(shù)都是等比源函數(shù).18分
考點(diǎn)：1.新定義函數(shù)的概念.2.列舉遞推的思想.3.反正法思想的應(yīng)用.