Question

（12分）如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線(xiàn)為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)，直線(xiàn) 與軸交于點(diǎn)，為橢圓的長(zhǎng)軸，已知，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：對(duì)于任意的割線(xiàn)，恒有；

（3）求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)     (Ⅱ)略   （Ⅲ）

解析:

（1）∵，∴， 又∵，∴，

∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．---（4分）

（2）當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿(mǎn)足題意，

當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．----------------------------6分

則

 ，

而

∴，從而．

綜合可知：對(duì)于任意的割線(xiàn)，恒有．………------------------（8分）

（3），

即：，

當(dāng)且僅當(dāng)，

即（此時(shí)適合于的條件）取到等號(hào)．

∴三角形△ABF面積的最大值是．……--（12分）