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12.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為等腰直角三角形,AB=AC=1,BB1=2,∠ABB1=60°.
(Ⅰ)證明:AB⊥B1C;
(Ⅱ)若B1C=2,求AC1與平面BCB1所成角的正弦值.

分析 法一:(Ⅰ)連結(jié)AB1,在△ABB1中,由余弦定理得求出AB1,通過計(jì)算勾股定理證明AB1⊥AB,以及證明AC⊥AB,推出AB⊥平面AB1C.得到AB⊥B1C.
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),以ABACAB1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面BCB1的法向量,利用向量的數(shù)量積求解AC1與平面BCB1所成角的正弦值.
法二:(Ⅱ)過點(diǎn)A作AH⊥平面BCB1,垂足為H,連結(jié)HC1,說明∠AC1H為AC1與平面BCB1所成的角.取BC中點(diǎn)P,連結(jié)PB1,利用VABCB1=VB1ABC,求出AH,在Rt△AHC1中,求解AC1與平面BCB1所成的角的正弦值即可.

解答 滿分(12分).
解:法一:(Ⅰ)連結(jié)AB1,在△ABB1中,AB=1,BB1=2,∠ABB1=60°,
由余弦定理得,AB12=AB2+BB122ABBB1cosABB1=3

AB1=3,…(1分)
BB12=AB2+AB12
∴AB1⊥AB.…(2分)
又∵△ABC為等腰直角三角形,且AB=AC,
∴AC⊥AB,
又∵AC∩AB1=A,
∴AB⊥平面AB1C.(4分)
又∵B1C?平面AB1C,
∴AB⊥B1C.(5分)
(Ⅱ)∵AB1=3AB=AC=1B1C=2,
B1C2=AB12+AC2,∴AB1⊥AC.(6分)
如圖,以A為原點(diǎn),以ABACAB1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
(7分)
A000B1003B100C010,
BB1=103BC=110.(8分)
設(shè)平面BCB1的法向量n=(x,y,z),
{BB1n=0BCn=0,得{x+3z=0x+y=0令z=1,得x=y=3
∴平面BCB1的一個(gè)法向量為n=331. …(9分)

AC1=AC+CC1=AC+BB1=010+103=113,…(10分)
cosAC1n=AC1n|AC1||n|=357=10535,….…(11分)
∴AC1與平面BCB1所成角的正弦值為10535.(12分)
法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)過點(diǎn)A作AH⊥平面BCB1,垂足為H,連結(jié)HC1
則∠AC1H為AC1與平面BCB1所成的角.(6分)
由(Ⅰ) 知,AB1⊥AB,AB1=3,AB=AC=1,B1C=2,
AB21+AC2=B1C2,∴AB1⊥AC,
又∵AB∩AC=A,∴AB1⊥平面ABC,(7分)
VB1ABC=13SABCAB1=13×12×AB×AC×AB1=36.(8分)
取BC中點(diǎn)P,連結(jié)PB1,∵BB1=B1C=2,∴PB1⊥BC.
又在Rt△ABC中,AB=AC=1,∴BC=2,∴BP=22,
PB1=B1B2BP2=412=142,

SB1BC=12BC×B1P=72.(9分)
VABCB1=VB1ABC
13SBCB1AH=36,即13×72×AH=36,∴AH=217.(10分)
∵AB1⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴AB1⊥BC,
三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,B1C1=BC=2,
∴AB1⊥B1C1,∴AC1=AB21+B1C21=5.(11分)
在Rt△AHC1中,sinAC1H=AHAC1=2175=10535,
所以AC1與平面BCB1所成的角的正弦值為10535.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等.

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①當(dāng)n=2k(k=1,2,3…)時(shí),cn=k;
②當(dāng)n=2k+1-1(k=1,2,3…)時(shí),cn=k;
③當(dāng)n=2k+1-1(k=1,2,3…)時(shí),Sn=(k-1)•2k+1+2.

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第一行是:2;
第二行是:2+1,2+3:即3,5;
第三行是:3+1,3+3,5+1,5+3,即:4,6,6,8,

(即從第二行起將上一行的數(shù)的每一項(xiàng)各加1寫出,再各項(xiàng)再加3寫出),若第n行所有的項(xiàng)的和為an;
2
3 5
4 6 6 8
5 7 7 9 7 9 9 11

(1)求a3,a4,a5;
(2)試寫出an+1與an的遞推關(guān)系,并據(jù)此求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)Sn=a3a1a2+a4a2a3+…+an+2anan+1(n∈N*),求SnnlimSn的值.

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