Question

【題目】已知是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，，.

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，

①求證：；

②解關(guān)于的不等式：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②，

【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；

（2）①，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，即可得證；

②原不等式化為，即，運(yùn)用二項(xiàng)式定理和不等式的性質(zhì)，可得解集．

（1）證明：是正項(xiàng)數(shù)列的求和，，，

可得，則，

當(dāng)時(shí)，，又，

兩式相減可得，

化為，

由正項(xiàng)數(shù)列，可得，

可得數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列；

（2）①證明：，前項(xiàng)和，

，

兩式相減可得，

化為，

可得；

②即，

化為，即，

，

可得時(shí)；時(shí)，；不成立，

故原不等式的解集為，．