Question

9．設(shè)f（x）=e^x（ax²+3），其中a為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)
（1）當(dāng)a=-1時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）為[1，2]上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥[-$\frac{3}{x（x+2）}$]_max或a≤[-$\frac{3}{x（x+2）}$]_min，x∈[1，2]，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=e^x（-x²+3），
f′（x）=-e^x（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：-3＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-3，
故f（x）在（-∞，-3）遞減，在（-3，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_極小值=f（-3）=-$\frac{6}{{e}^{3}}$，f（x）_極大值=f（1）=2e；
（2）f′（x）=e^x（ax²+2ax+3），
若f（x）為[1，2]上的單調(diào)函數(shù)，
即ax²+2ax+3≥0或ax²+2ax+3≤0在x∈[1，2]恒成立，
故只需a≥[-$\frac{3}{x（x+2）}$]_max或a≤[-$\frac{3}{x（x+2）}$]_min，x∈[1，2]，
而y=-$\frac{3}{x（x+2）}$∈[-1，-$\frac{3}{8}$]，
故a≥-$\frac{3}{8}$或a≤-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．