分析:(Ⅰ)由三棱柱ABC-A
1B
1C
1為正三棱柱,取BC邊的中點O,連結AO,可證AO垂直于底面,以O為坐標原點建立空間直角坐標系,由已知求出各點的坐標,得到向量
,,的坐標,由向量的數(shù)量積等于0可證AB
1⊥平面A
1BD;
(Ⅱ)把D點的坐標用含有λ的代數(shù)式表示,求出二面角A-A
1D-B的兩個面的法向量,利用法向量所成的角為
即可得到λ的值.
解答:
(Ⅰ)證明:取BC的中點為O,連結AO
在正三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,面ABC⊥面CB
1,△ABC為正三角形,所以AO⊥BC,
故AO⊥平面CB
1.
以O為坐標原點建立如圖空間直角坐標系O-xyz.
則
A(0,0,),B
1(1,2,0),D(-1,1,0),
A1(0,2,),B(1,0,0).
所以
=(1,2,-),
=(1,1,),
=(2,-1,0),
因為
•=1+2-3=0,•=2-2=0,
所以AB
1⊥DA
1,AB
1⊥DB,又DA
1∩DB=D,
所以AB
1⊥平面A
1BD;
(Ⅱ)解:由(1)得D(-1,2λ,0),所以
=(1,2-2λ,),
=(2,-2λ,0),
=(1,-2λ,),
設平面A
1BD的法向量
=(x,y,z),平面AA
1D的法向量
=(s,t,u),
由
,得
,取y=1,得x=λ,
z=.
所以平面A
1BD的一個法向量為
=(λ,1,),
由
,得
,取u=-1,得x=
,y=0.
所以平面AA
1D的一個法向量
=(,0,-1),
由
cos<,>==,得
=
.
解得
λ=,為所求.
點評:本題考查了直線與平面垂直的判定,考查了二面角的平面角.訓練了利用平面法向量求二面角的大小,是中檔題.