Question

在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知平面向量

m

=（sin（π-C），cosC），

n

=（sin（B+

π

2

），sinB），且

m

•

n

=sin2A．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，cosB+cosC=1，求邊c的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）通過向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)集合二倍角公式，求出cosC，然后求sinA的值；
（2）化簡cosB+cosC=1為A，C的關(guān)系，然后求出C的大小，然后求邊c的值．

解答： 解：（1）由題意

m

=（sin（π-C），cosC）=（sinC，cosC），

n

=（sin（B+

π

2

），sinB）=（cosB，sinB），
∵

m

•

n

=sin2A，
∴sin2A=sinCcosB+sinBcosC …（2分）
得2sinAcosA=sin（B+C）=sinA …（4分）
由于△ABC中，sinA＞0，∴2cosA=1，cosA=

1

2

…（5分）
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

 …（6分）
（2）由cosB+cosC=1得-cos（A+C）+cosC=1 …（7分）
即sinAsinC-cosAcosC+cosC=1，

3

2

sinC+

1

2

cosC=1…（9分）
得sin（C+

π

6

）=1，∵0＜C＜

2π

3

，∴

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

，平方得C=

π

3

…（12分）
所以△ABC為正三角形，∴c=1…（14分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查計算能力．