Question

在數(shù)列{a_n}中a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0．
（1）證明數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）求S_n和數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設(shè)b_n=

1

Sn

•2ⁿ⁺¹，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n（S_n-a_n）+2a_n=0，得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，兩式聯(lián)立得S_n•S_n-1+2（S_n-S_n-1）=0，即

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，故數(shù)列{

1

Sn

}是以1為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，求得S_n=

2

n+1

．再由當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

-2

n(n+1)

求得數(shù)列的通項公式；
（3）b_n=

1

Sn

•2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ，然后直接利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和．

解答： （1）證明：由S_n（S_n-a_n）+2a_n=0，得
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，且S_n（S_n-a_n）+2a_n=0，
∴S_n[S_n-（S_n-S_n-1）]+2（S_n-S_n-1）=0，
即S_n•S_n-1+2（S_n-S_n-1）=0，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

．
又∵S₁=a₁=1，故數(shù)列{

1

Sn

}是以1為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）得：

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，
∴S_n=

2

n+1

．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

-2

n(n+1)

．
∵n=1時，

-2

n(n+1)

無意義．
故a_n=

1，n=1 -2 n(n+1) ，n≥2

；
（3）解：b_n=

1

Sn

•2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ，
∴Tn=2•21+3•22+…+(n+1)•2n，
則2Tn=2•22+3•23+…+(n+1)•2n+1，
兩式作差得：-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1=4+2ⁿ⁺¹-4-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹．
∴Tn=n•2n+1．

點評：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列通項公式的求法，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．