【題目】已知函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,記函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為,(其中),求的最大值.
【答案】(1)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
(2).
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),由得增區(qū)間,由得減區(qū)間,注意題中函數(shù)定義域是,因此對二次三項(xiàng)式分類情況為第一類:或,第二類且.
(2)與極值點(diǎn)有關(guān)的問題,不是直接代入極值點(diǎn),而是用表示極值點(diǎn),由是方程的解,得,..不妨設(shè),引入變量,則,就轉(zhuǎn)化為的函數(shù),由求得的范圍,由導(dǎo)數(shù)知識可得所求最大值.
(1).
令,則.
①當(dāng)或,即時,得恒成立,
∴在上單調(diào)遞增.
②當(dāng),即時,
由,得或;
由,得.
∴函數(shù)在和上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)得,當(dāng)時,有兩極值點(diǎn),(其中).
則,為的兩根,
∴,.
.
令,
則.
由,得,
即,解得.
∵,
∴在上單調(diào)遞減,
∴.
即的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A地的天氣預(yù)報顯示,A地在今后的三天中,每一天有強(qiáng)濃霧的概率為,現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率,先利用計(jì)算器產(chǎn)生之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),并用0,1,2,3,4,5,6表示沒有強(qiáng)濃霧,用7,8,9表示有強(qiáng)濃霧,再以每3個隨機(jī)數(shù)作為一組,代表三天的天氣情況,產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
則這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率近似為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)40名數(shù)學(xué)教師,按年齡從小到大編號為1,2,…40。現(xiàn)從中任意選取6人分成兩組分配到A,B兩所學(xué)校從事支教工作,其中三名編號較小的教師在一組,三名編號較大的教師在另一組,那么編號為8,12,28的數(shù)學(xué)教師同時入選并被分配到同一所學(xué)校的方法種數(shù)是
A. 220 B. 440 C. 255 D. 510
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠在制造產(chǎn)品時需要用到長度為698mm的A型和長度為518mm的B型兩種鋼管,工廠利用長度為4000mm的鋼管原材料,裁剪成若干A型和B型鋼管。假設(shè)裁剪時損耗忽略不計(jì),裁剪后所剩廢料與原材料的百分比稱為廢料率.
(1)有兩種裁剪方案的廢料率小于4.5%,請說明這兩種方案并計(jì)算它們的廢料率;
(2)工廠現(xiàn)有100根原材料鋼管,一根A型和一根B型鋼管為一套毛胚。按(1)中的方案裁剪,最多可裁剪多少套毛胚?最終的廢料率為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤(a>0)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某市10月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)越小表示空氣質(zhì)量越好,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,下列敘述中不正確的是( )
A.這14天中有7天空氣質(zhì)量優(yōu)良
B.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103
C.從10月11日到10月14日,空氣質(zhì)量越來越好
D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大的是10月5日至10月7日
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),其前項(xiàng)和為,且滿足:,,其中,常數(shù).
(1)求證:是一個定值;
(2)若數(shù)列是一個周期數(shù)列(存在正整數(shù),使得對任意,都有成立,則稱為周期數(shù)列,為它的一個周期),求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列,(),問:數(shù)列中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列中的項(xiàng)?若是,請說明理由;若不是,請舉出反例.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,動點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是,設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為E.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(2)設(shè)過F的直線交軌跡E的弦為AB,過原點(diǎn)的直線交軌跡E的弦為CD,若,求證:為定值.
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