Question

14．已知函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx$．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤t對$?x∈[\frac{1}{e}，e]$成立（其中e為自然對數y=lnx的底數），求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，得到函數的單調區(qū)間即可；（Ⅱ）根據函數的單調性求出函數的最大值以及端點值，從而求出t的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得定義域為（0，+∞），
∵$f'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{（x+1）（x-1）}{x}$…（2分）
令f′（x）=0⇒x=1（x＞0），f′（x）＞0⇒x＞1（x＞0），f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴f（x）的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在$[{\frac{1}{e}，1}]$上遞減，在[1，e]上遞增    …（8分）
∵$f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{{2{e^2}}}+1$，$f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-1$，且 $\frac{1}{2}{e^2}-1＞\frac{1}{{2{e^2}}}+1$…（9分）
∴當$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$時，${[{f（x）}]_{max}}=f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-1$…（10分）
∵f（x）≤t對$?x∈[{\frac{1}{e}，e}]$成立，∴t≥[f（x）]_max，即$t≥\frac{1}{2}{e^2}-1$，
∴實數t的取值范圍為$[{\frac{1}{2}{e^2}-1，+∞}）$．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．