Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\frac{cosB}{cosC}$=$\frac{5b}{13a-5c}$，且b²=ac．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若accosB=5，求a+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，由內(nèi)角的范圍求出cosB的值，由平方關(guān)系和三角函數(shù)值的符號求出sinB的值；
（Ⅱ）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，把已知的條件代入化簡求值，利用完全平方公式求出a+c的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由題意得$\frac{cosB}{cosC}=\frac{5b}{13a-5c}$，
則由正弦定理得$\frac{cosB}{cosC}=\frac{5sinB}{13sinA-5sinC}$，
13cosBsinA-5cosBsinC=5cosCsinB，
13cosBsinA=5sin（B+C）=5sinA，
又0＜A＜π，則cosB=$\frac{5}{13}$，
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$；
（Ⅱ）由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
因?yàn)閍ccosB=5，b²=ac，
所以ac=13，a²+c²=23，
所以a+c=$\sqrt{（a+c）^{2}}$=$\sqrt{23+26}$=7．

點(diǎn)評 本題考查了正弦、余弦定理，兩角和的正弦公式，以及整體思想求值，注意三角函數(shù)值的符號．