將一塊圓心角為60°,半徑為20cm的扇形鐵電裁成一個(gè)矩形,求裁得矩形的最大面積.
分析:設(shè)∠PON=θ則可表示出PN和MN,進(jìn)而根據(jù)矩形的面積公式表示出其面積表達(dá)式,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值.
解答:解:如圖設(shè)∠PON=θ,則PN=20sinθ,MN=20cosθ-
sinθ,
S
MNPQ=20sinθ(20cosθ-
sinθ),
當(dāng)θ=30°時(shí),S
MNPQ取最大值
.
如圖(2),設(shè)∠FOA=θ,則EF=40sin(30°-θ),在△OFG中,∠OGF=150°,故
=即FG=40sinθ
設(shè)矩形的面積為S.
那么S
矩形EFFG=1600sinθsin(30°-θ)
=800[cos(2θ-30°)-cos30°]=800[cos(2θ-30°)-
]
又∵0<θ<30°,故當(dāng)cos(2θ-30°)=1即θ=15°時(shí),S取最大值400(2-
),顯然,
×400>(2-)×400,所以內(nèi)接矩形的最大面積為
.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型的問題.考查了考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.