Question

已知f(x)=lnx-

a

x

．
（I）當(dāng)a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（II）若f（x）在[1，e]（e是自然對數(shù)的底）上的最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的定義域，、導(dǎo)數(shù)f′（x），當(dāng)a＞0時易判斷導(dǎo)數(shù)符號，從而得其單調(diào)性；
（II）求出f（x）在[1，e]上的最小值，令其為

3

2

，解出即可，其最小值分情況進行討論：當(dāng)a≥0時據(jù)單調(diào)性易求最小值；當(dāng)a＜0時，令f′（x）=0得x=

1

a

，再按照

1

a

在區(qū)間[1，2]外、內(nèi)兩種情況利用單調(diào)性即可求得最小值．

解答：解：由題意得x＞0，所以定義域為（0，+∞），且f′(x)=

1

x

+

a

x2

．
（I）顯然，當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
（II）當(dāng)a＞0時，由（I），得f（x）在定義域上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值為f（1），即f（1）=

3

2

⇒-a=

3

2

⇒a=-

3

2

（與a＞0矛盾，舍）；
當(dāng)a=0時，f（x）=lnx，顯然在[1，e]上單調(diào)遞增，最小值為0，不合題意；
當(dāng)a＜0時，f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
若x∈（0，-a），則f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，若x=-a，則f′（x）=0，
若x∈（-a，+∞），則f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)-a≤1即-1≤a＜0時，f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，⇒a=-

3

2

（舍），
當(dāng)1＜-a＜e即-e＜a＜-1時，f（x）_min=f（-a）=1+ln（-a）=

3

2

⇒a=-e

1

2

（滿足題意），
當(dāng)-a≥e即a≤-e時，f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，⇒a=-

e

2

（舍），
綜上所述，a=-e

1

2

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，屬中檔題．