Question

如圖，正四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的正切值為．
（1）求側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的大小；
（2）若E是PB中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC、BD交于點O，連接PO，則PO⊥面ABCD，則∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，設(shè)AB=1，則可得則PO=AO•tan∠PAO
設(shè)F為AD中點，連FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△POF中可求∠PFO
（2）容易證明EO．可得∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角，在Rt△AOE中求解
解答：解：（1）連接AC、BD交于點O，連接PO，則PO⊥面ABCD，（1分）
∴∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=．（2分）
設(shè)AB=1，則PO=AO•tan∠PAO==．（3分）
設(shè)F為AD中點，連FO、PF，
易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角．（4分）
在Rt△POF中，，
∴∠PFO=60°，即側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的大小為60°；（5分）
（2）連接EO，由于O為BD中點，E為PB中點，所以，EO．
∴∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角．（6分）
在Rt△POD中，．∴．（7分）
由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．所以，AO⊥EO（8分）
在Rt△AOE中，，
即異面直線PD與AE所成角的正切值為．（9分）
點評：本題主要考查了直線與平面所成角及二面角的平面角的求解，解決問題（1）的關(guān)鍵是要找到與已知平面垂直的直線，從而把線面角轉(zhuǎn)化為線線角，還要注意線面角的范圍：；解決問題（2）的關(guān)鍵是要尋求與已知異面直線平行的直線，從而把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，其范圍：（0，