Question

2．在△ABC中，角A、B、C所對邊的長為a、b、c，設AD為BC邊上的高，且AD=a，則$\frac{c}$+$\frac{c}$的最大值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用三角形的兩個面積公式和等面積法列出方程表示出sinA，由余弦定理表示出cosA，化簡后求出$\frac{c}+\frac{c}$的表達式，利用輔助角公式化簡，利用正弦函數的最大值求出$\frac{c}+\frac{c}$的最大值．

解答 解：∵AD為BC邊上的高，且AD=a，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}a•a=\frac{1}{2}bcsinA$，則sinA=$\frac{{a}^{2}}{bc}$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{c}+\frac{c}$）-$\frac{{a}^{2}}{2bc}$，
∴$\frac{c}+\frac{c}$=2（$\frac{{a}^{2}}{2bc}$+cosA）=sinA+2cosA=$\sqrt{5}$sin（A+α），
其中sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
當sin（A+α）=1時，$\frac{c}+\frac{c}$取到最大值是$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了三角形的面積公式，余弦定理，兩角和的正弦函數公式，考查了正弦函數的性質，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．