Question

3．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形CDEF是正方形，AB∥CD，CD=2AB，G為DE的中點(diǎn)．
（1）求證：BG∥平面ADF；
（2）若CD=2，AB⊥BD，BD=BE，∠DBE=90°，求三棱錐A-BDF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接底面四邊形對(duì)角線相交于H，連接HG，AH，由三角形中位線知識(shí)證明四邊形AHGB是平行四邊形，得到BG∥AH，再由線面平行的判定定理證明BG∥平面ADF；
（2）由已知證得BD⊥平面AFEB，在正方形CDEF中，得到AB⊥DE，由線面垂直的判定得AB⊥平面BDE，得到AB⊥BE，在Rt△BDE中，求解直角三角形可得$BD=BE=\sqrt{2}$，
AB=1，利用等積法把三棱錐A-BDF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐D-ABF的體積求解．

解答 （1）證明：設(shè)CE與DF的交點(diǎn)為H，則點(diǎn)H為CE的中點(diǎn)，連接HG，AH，
在△CDE中，∵G為DE的中點(diǎn)，H為CE的中點(diǎn)，
∴HG∥CD，且CD=2HG，
又∵AB∥CD，CD=2AB，
∴AB∥HG，且AB=HG，
∴四邊形AHGB是平行四邊形，
∴BG∥AH，
∵AH?平面ADF，BG?平面ADF，
∴BG∥平面ADF；
（2）解：∵AB⊥BD，BD⊥BE，AB、BE?平面AFEB，AB∩BE=B，
∴BD⊥平面AFEB，
在正方形CDEF中，CD⊥DE，AB∥CD，
∴AB⊥DE，
又∵AB⊥BD，BD、BE?平面BDE，BD∩BE=B，
∴AB⊥平面BDE，
∴AB⊥BE，
在Rt△BDE中，∠DBE=90°，BD=BE，DE=CD=2，
∴$BD=BE=\sqrt{2}$，
∵CD=2AB，CD=2，
∴AB=1，
∴三棱錐A-BDF的體積V_A-BDF=V_D-ABF=$\frac{1}{3}{S_{△ABF}}•DB$
=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AB•BE•DB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了棱錐、棱柱、棱臺(tái)體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．