Question

如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=2，M為CE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF．
（Ⅱ）求二面角B-EC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF．
（Ⅱ）以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

解答：（I）證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．
（Ⅱ）解：以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=2，M為CE的中點(diǎn)，
∴B（1，1，0），E（0，0，2），C（0，2，0），D（0，0，0），
∴

EC

=（0，2，-2），

EB

=（1，1，-2），
設(shè)平面EBC的法向量為

n 1

=（x，y，z），則

EC

•

n 1

=0，

EB

•

n 1

=0，
∴

2x-2z=0 x+y-2z=0

，∴

n 1

=（1，1，1），
設(shè)二面角B-EC-D的平面角為α，
∵平面EDC的法向量為

n 2

=（1，0，0），
∴cosα=|cos＜

n 1

，

n 2

＞|=|

1

3

|=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，三棱錐體積的計(jì)算，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．