【題目】已知函數(shù)

(1)若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(2)設(shè),求證:當(dāng)時(shí), .

【答案】(1) ;(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

1)解法一:求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)并通分,對(duì)分成兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值,求得實(shí)數(shù)的取值范圍.解法二:將原不等式分離常數(shù),得到,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則,求得的取值范圍,由此求得的取值范圍.2)解法一:先由(1)的結(jié)論,證得當(dāng)時(shí)成立.再利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時(shí),也成立,由此證得不等式成立.解法二:將所要證明的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,進(jìn)而證得,也即證得.

解:(1)【解法一】由得:

①當(dāng)時(shí),由知,

在區(qū)間上為增函數(shù),

當(dāng)時(shí),恒成立,

所以當(dāng)時(shí),滿足題意;

②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù).

這時(shí)當(dāng)時(shí),

,則

上為減函數(shù),所以

上的最小值

此時(shí),當(dāng)時(shí),不可能恒成立,即有不滿足題意.

綜上可知,當(dāng),使恒成立時(shí),

的取值范圍是.

【解法二】

當(dāng)時(shí),等價(jià)于

,則只須使

設(shè)

上為增函數(shù),

所以上為增函數(shù),

當(dāng)時(shí),

由洛必達(dá)法則知

即當(dāng)時(shí),,所以有

即當(dāng),使恒成立時(shí),則的取值范圍是

(2)解法一:由(1)知,當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

成立

故只須在證明,當(dāng)時(shí),即可

當(dāng)時(shí),

又當(dāng)時(shí),

所以,只須證明即可;

設(shè)

得:

當(dāng),時(shí)

當(dāng)時(shí),

在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),

當(dāng)時(shí),

成立

綜上可知,當(dāng)時(shí),成立.

(2)解法二:由(1)知當(dāng)時(shí),

等價(jià)于

設(shè)

得:

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),

當(dāng)時(shí),

因?yàn)?/span>時(shí),.所以

所以成立.

綜上可知,當(dāng)時(shí),成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】“雙十一網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)”源于淘寶商城(天貓)2009年11月11 日舉辦的促銷活動(dòng),當(dāng)時(shí)參與的商家數(shù)量和促銷力度均有限,但營(yíng)業(yè)額遠(yuǎn)超預(yù)想的效果,于是11月11日成為天貓舉辦大規(guī)模促銷活動(dòng)的固定日期.如今,中國(guó)的“雙十一”已經(jīng)從一個(gè)節(jié)日變成了全民狂歡的“電商購(gòu)物日”.某淘寶電商分析近8年“雙十一”期間的宣傳費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)和利潤(rùn)(單位:十萬(wàn)元)之間的關(guān)系,得到下列數(shù)據(jù):

2

3

4

5

6

8

9

11

1

2

3

3

4

5

6

8

(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系(當(dāng)時(shí),說(shuō)明之間具有線性相關(guān)關(guān)系);

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果,建立之間的回歸方程,并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)為多少(精確到0.1).

附參考公式:回歸方程中最小二乘估計(jì)分別為

,相關(guān)系數(shù)

參考數(shù)據(jù):

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙、丙3人均以游戲的方式?jīng)Q定是否參加學(xué)校音樂(lè)社團(tuán)、美術(shù)社團(tuán),游戲規(guī)則為:

①先將一個(gè)圓8等分(如圖),再將8個(gè)等分點(diǎn),分別標(biāo)注在8個(gè)相同的小球上,并將這8個(gè)小球放入一個(gè)不透明的盒子里,每個(gè)人從盒內(nèi)隨機(jī)摸出兩個(gè)小球、然后用摸出的兩個(gè)小球上標(biāo)注的分點(diǎn)與圓心構(gòu)造三角形.若能構(gòu)成直角三角形,則兩個(gè)社團(tuán)都參加;若能構(gòu)成銳角三角形,則只參加美術(shù)社團(tuán);若能構(gòu)成鈍角三角形,則只參加音樂(lè)社團(tuán);若不能構(gòu)成三角形,則兩個(gè)社團(tuán)都不參加.

②前一個(gè)同學(xué)摸出兩個(gè)小球記錄下結(jié)果后,把兩個(gè)小球都放回盒內(nèi),下一位同學(xué)再?gòu)暮兄须S機(jī)摸取兩個(gè)小球。

(1)求甲能參加音樂(lè)社團(tuán)的概率;

(2)記甲、乙、丙3人能參加音樂(lè)社團(tuán)的人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差

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7527 0293 7140 9857

0347 4373 8636 6947

1417 4698 0371 6233

2616 8045 6011 3661

9597 7424 7610 4281

A.0.852B.0.8192C.0.8D.0.75

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【題目】已知圓和拋物線,圓與拋物線的準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn),的面積為,其中的焦點(diǎn).

(1)求拋物線的方程;

(2)不過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線交該拋物線于,兩點(diǎn),且滿足,設(shè)點(diǎn)為圓上任意一動(dòng)點(diǎn),求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)直線的方程.

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(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)直線過(guò)定點(diǎn),且斜率為,若橢圓上存在,兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍及面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知定義在上的函數(shù) 的圖象如圖

給出下列四個(gè)命題:

①方程有且僅有個(gè)根;②方程有且僅有個(gè)根;

③方程有且僅有個(gè)根;④方程有且僅有個(gè)根;

其中正確命題的序號(hào)是( )

A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,的中點(diǎn)

(1)求證:平面

(2)求證:平面平面;

(3)若與平面所成角為的長(zhǎng)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知直線 ,圓

(1)求證:直線與圓總相交;

(2)求出相交的弦長(zhǎng)的最小值及相應(yīng)的值;

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