Question

在（3-x）²⁰（x∈R，x≠0）的展開式中，已知第2r項與第r+1項（r≠1）的二項式系數(shù)相等．
（1）求r的值；
（2）若該展開式的第r項的值與倒數(shù)第r項的值

1

256

相等，求x的值．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：計算題,二項式定理

分析：（1）由二項式的展開式的通項，得到

C

2r-1 20

=

C

r 20

，再由組合數(shù)的性質(zhì)，即可解出r；
（2）運用通項公式寫出第r項和導數(shù)第r項，根據(jù)題意列出方程，由r=7，解出方程，即可得x的值．

解答： 解：（1）由題意知

C

2r-1 20

=

C

r 20

，
即2r-1=r或2r-1=20-r，解得r=7或r=1（舍去），
故r=7．
（2）T_r=

C

r-1 20

•3^21-r•（-x）^r-1，
倒數(shù)第r項T_22-r=

C

21-r 20

•3r-1•(-x)21-r
當r=7時，T₇=

C

6 20

•3¹⁴•x⁶，
倒數(shù)第7項，即T₁₅=

C

14 20

•3⁶•x¹⁴，
由題意得，

C

6 20

•3¹⁴•x⁶=

1

256

•

C

14 20

•3⁶•x¹⁴，（x≠0）
即x⁸=256×3⁸，
解得，x=±6．

點評：本題主要考查二項式定理的運用，考查二項式的展開式的通項，注意區(qū)別某項的二項式系數(shù)和該項的系數(shù)的區(qū)別．