Question

已知圓C經(jīng)過點A（2，-1），和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=-2x上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l經(jīng)過原點，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)出圓心的坐標(biāo)為（a，-2a），利用兩點間的距離公式表示出圓心到A的距離即為圓的半徑，且根據(jù)圓與直線x+y=1相切，根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（Ⅱ）分類討論，利用被圓C截得的弦長為2，求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（a，-2a）
由條件得

(a-2)2+(-2a+1)2

=

|a-2a-1|

2

，化簡得a²-2a+1=0，
∴a=1，
∴圓心為（1，-2），半徑r=

2

∴所求圓方程為（x-1）²+（y+2）²=2
（Ⅱ）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0，此時直線l被圓C截得的弦長為2，滿足條件．
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx，
由題得

|k+2|

1+k2

=1，解得k=-

3

4

，∴直線l的方程為y=-

3

4

x．
綜上所述：直線l的方程為x=0或y=-

3

4

x．

點評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，常常利用此性質(zhì)列出方程來解決問題．