Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)SBC是正三角形，點(diǎn)E是SB的中點(diǎn)，且AE⊥平面ABC．
（1）證明：SD∥平面ACE；
（2）若AB⊥AS，BC=2，求點(diǎn)S到平面ABC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD，交于點(diǎn)F，由已知得EF∥SD，由此能證明SD∥平面ACE．
（2）由已知得AB=

2

，AE=1，AE⊥CE，CE=

3

，AC=2，由V_S-ABC=V_A-SBC，能求出點(diǎn)S到平面ABC的距離．

解答： （1）證明：連結(jié)BD，交于點(diǎn)F，
∵ABCD是平行四邊形，∴F是BD的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)E是SB的中點(diǎn)，∴EF∥SD，
∵SD?平面ACE，EF?平面ACE，
∴SD∥平面ACE．

（2）解：∵AB⊥AS，BC=2，且點(diǎn)E是SB的中點(diǎn)，
∴AB=

2

，AE=1，
又∵AE⊥平面SBC，CE?平面SBC，∴AE⊥CE，
∴側(cè)面SBC是正三角形，∴CE=

3

，
∴AC=

AE2+CE2

=2，
∴△ABC是底邊為

2

，腰為2的等腰三角形．
∴S△ABC=

1

2

×

2

×

4- 1 2

=

7

2

，
設(shè)點(diǎn)S一平面ABC的距離為h，
由V_S-ABC=V_A-SBC，得

1

3

h•S△ABC=

1

3

AE•S△SBC，
∴h=

AE•S△SBC

S△ABC

=

2 3

7

=

2 21

7

．

點(diǎn)評：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置，考查線線平行、線面平行、線線垂直與線面垂直，考查等積法求幾何體的體積，考查空間想象能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力及化歸思想等．