Question

如圖,矩形是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖,建立平面直角坐標(biāo)系,使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)分別為軸、軸,(百米),(百米)()觀光區(qū)中間葉形陰影部分是一個(gè)人工湖,它的左下方邊緣曲線是函數(shù)的圖象的一段.為了便于游客觀光,擬在觀光區(qū)鋪設(shè)一條穿越該觀光區(qū)的直路(寬度不計(jì)),要求其與人工湖左下方邊緣曲線段相切(切點(diǎn)記為),并把該觀光區(qū)分為兩部分,且直線左下部分建設(shè)為花圃.記點(diǎn)到的距離為表示花圃的面積.

（1）求花圃面積的表達(dá)式；

（2）求的最小值.

 

 

Answer 1

（1） ；（2）

【解析】

試題分析：（1）為了求花圃的面積，首先判斷直線左下部分花圃的形狀，故先求過點(diǎn)的求切線方程，根據(jù)橫截距和縱截距的取值范圍分為三類：①；②；③，花圃形狀分別為直角三角形、直角梯形、直角梯形，因其面積表達(dá)式不同，故分類三類，并以分段函數(shù)的形式給出；（2）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，故可分段來求最小值，再比較，哪個(gè)值最小，哪個(gè)即最小值．當(dāng)時(shí)，，；利用導(dǎo)數(shù)來求最小值；當(dāng)時(shí)，，利用二次函數(shù)的圖象來求最小值．

（1）由題意可設(shè),又因,所以過點(diǎn)的切線方程為

,即,

切線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),

①當(dāng),即時(shí),切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯侨�角�?

所以;

②當(dāng),即時(shí),切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯翘菪?

所以;

③當(dāng),即時(shí),切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯翘菪?

所以;

綜上有, 7分

（2）①當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;

②當(dāng)時(shí),,

所以在上遞減,所以,

下面比較與的大小,由于,

所以可知即求. 13分

考點(diǎn)：1、分段函數(shù)；2、二次函數(shù)；3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.