Question

8．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）．
（1）若x∈[2，6]時(shí)，f（x）_max=f（2）=2，f（x）_min=f（6）=-2且f（x）在[2，6]上單調(diào)遞減，求ω，φ的值；
（2）若φ=$\frac{π}{6}$且函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（3）若φ=0且函數(shù)f（x）=0在[-π，π]上恰有19個(gè)根，求ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦型函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)，結(jié)合題意求出周期T，即可得出ω的值，再根據(jù)f（x）的最值求出φ的值；
（2）根據(jù)φ=$\frac{π}{6}$時(shí)函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，列出不等式求出ω的取值范圍；
（3）根據(jù)φ=0時(shí)f（x）為奇函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出滿足條件的ω的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），
當(dāng)x∈[2，6]時(shí)，f（x）_max=f（2）=2，f（x）_min=f（6）=-2，
∴T=2（6-2）=8=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ）；
把（2，2）代入f（x）得2=2sin（$\frac{π}{2}$+φ），∴cosφ=1；
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=0；
（2）當(dāng)φ=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，
∴$\frac{π}{6}$≤ωx+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$，
解得ω≤1；
又ω＞0，
∴ω的取值范圍是（0，1]；
（3）當(dāng)φ=0時(shí)，f（x）=2sinωx，
∵f（x）為奇函數(shù)，要使f（x）=0在[-π，π]上恰有19個(gè)根，
只需f（x）=0在（0，π]上恰有9個(gè)根，
∴$\frac{9}{2}$T≤π＜5T，即$\frac{9}{2}$•$\frac{2π}{ω}$≤π＜5•$\frac{2π}{ω}$，
解得9≤ω＜10，即ω的取值范圍是[9，10）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．