【題目】已知橢圓的左焦點為F,短軸的兩個端點分別為A,B,且,為等邊三角形.

1)求橢圓C的方程;

2)如圖,點M在橢圓C上且位于第一象限內(nèi),它關(guān)于坐標原點O的對稱點為N;過點Mx軸的垂線,垂足為H,直線與橢圓C交于另一點J,若,試求以線段為直徑的圓的方程;

3)已知是過點A的兩條互相垂直的直線,直線與圓相交于PQ兩點,直線與橢圓C交于另一點R,求面積最大值時,直線的方程.

【答案】123

【解析】

1)由題意可得,,由,的關(guān)系,可得的值,進而得橢圓方程;

2)設(shè),即有,,運用向量的數(shù)量積的坐標表示,可得,求出的方程,代入橢圓方程,可得的坐標,求得的中點坐標和半徑,進而可得圓的方程;

3)設(shè),代入橢圓方程可得,運用韋達定理和弦長公式,再由三角形的面積公式,運用配方和二次函數(shù)的最值得求法,即可得到所求直線的方程.

1)由題意可得,即,又為等邊三角形,可得,

所以,

所以,橢圓的方程為:.

2)設(shè),即有,

由題意得,,即為,解得,

代入橢圓方程可得,,解得,即有,,

所以直線方程為:,將其代入橢圓方程得:,

,解得點坐標為,則中點為

所以圓的半徑為,

即以線段為直徑的圓的方程為:.

3)設(shè),代入橢圓方程可得,,

解得,,則,

由題意可得直線的方程為,代入圓的方程中,

由弦長公式可得,

的面積為

,即有,

所以

所以當(dāng),即有,此時,有最大值,

即有直線的方程為.

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1)若,,均在集合中,求證:函數(shù);

2)若函數(shù))在集合中,求實數(shù)的取值范圍;

3)若集合中的函數(shù)均為定義在上的一次函數(shù),求證:存在一個實數(shù),使得對一切,均有.

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