Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的有極值點(diǎn)，求b的取值范圍及f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）首先函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），將f′（x）變形后，再結(jié)合x＞0和b＞

1

2

得f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）方程f′（x）=0在（0，∞）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，函數(shù)有極值．然后利用根的判別式算得當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，最后根據(jù)b≤0和0＜b＜

1

2

兩種情況分別得出函數(shù)的極值點(diǎn)．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)
∴當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增． 
（2）①由（Ⅰ）得，當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，f′(x)=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

≥0函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)．
②當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∴i）b≤0時(shí)，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉(0，+∞)舍去，x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈(0，+∞)
此時(shí)f′（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如下表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有唯一極小值點(diǎn)，x=

1

2

+

1-2b

2

ii）   當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，0＜x₁＜x₂＜1 此時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值x1=

1

2

-

1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x2=

1

2

+

1-2b

2

；
綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)b＜

1

2

時(shí)f（x）有極值點(diǎn)；
當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有唯一最小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

；
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)x=

1

2

-

1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和含有字母參數(shù)的函數(shù)極值的討論，屬于中檔題．