Question

已知過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，N為弦AB的中點；又函數(shù)f（x）=asinx+3bcosx圖象的一條對稱軸方程是x=

π

6

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e與直線ON的斜率；
（Ⅱ）對于任意一點M∈C，總有等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立，求證：λ²+μ²為定值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是x=

π

6

，得f(

π

6

-x)=f(

π

6

+x)，取x=

π

6

得，f(0)=f(

π

3

)，整理得a與b的關系式，從而得出橢圓C的離心率；又橢圓C的方程可化為x²+3y²=3b²將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用弦長公式即可求得P直線ON的斜率；
（II）

OA

與

OB

是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，由平面向量坐標運算得到：x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，又M∈C，得：λ（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²結合（I）中方程根與系數(shù)的關系最后化簡得：λ²+μ²為定值．

解答：解：（I）因為函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是x=

π

6

，
所以對任意的實數(shù)x都有f(

π

6

-x)=f(

π

6

+x)，
取x=

π

6

得，f(0)=f(

π

3

)，整理得a=

3

b，于是橢圓C的離心率e=

c

a

=

6

3

，（3分）
由a=

3

b知，橢圓C的方程可化為x²+3y²=3b²，①
又橢圓C的右焦點F為(

2

b，0)，直線AB的方程為y=x-

2

b，②
②代入①展開整理得：4x2-6

2

bx+3b2=0，③
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點N（x₀，y₀），
則x₁，x₂是方程③的兩個不等的實數(shù)根，由韋達定理得，

x1+x2= 3 2 2 b x1x2= 3 4 b2

∴x₀=

3 2

4

b，y0=x0-

2

b=-

2

4

b，于是直線ON的斜率kON=

y0

x0

=-

1

3

．
此問用點差法也可（8分）
（II）

OA

與

OB

是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，由平面向量坐標運算知（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，（10分）
又M∈C，代入①式得：（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²，
展開整理得：λ（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²，④（10分）

又因為x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1- 2 b)(x2- 2 b) =4x1x2-3 2 b(x1+x2)+6b2 =3b2-9b2+6b2=0，

（12分）
又A、B兩點在橢圓上，故有x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²
代入④式化簡得：λ²+μ²=1（14分）

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．