Question

在△ABC中，btanB=ctanC，
（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若BD是邊AC的中線，且BD=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦后，再利用正弦定理化簡(jiǎn)，利用余弦定理表示出cosC和cosB，代入化簡(jiǎn)得到的式子中，整理后因式分解，可得出b=c，確定出三角形ABC為等腰三角形；
（2）設(shè)AB=2AD=2DC=2m，利用余弦定理表示出cosA，將設(shè)出的邊長(zhǎng)代入，表示出cosA，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系表示出sinA，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將各自的值代入，整理后被開(kāi)方數(shù)為關(guān)于m²的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出三角形面積的最大值．

解答：解：（1）∵btanB=ctanC，∴b•

sinB

cosB

=c•

sinC

cosC

，
又

b

sinB

=

c

sinC

，
∴b²cosC=c²cosB，
∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

，cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴b²•

a2+b2-c2

2ab

=c²•

a2+c2-b2

2ac

，
∴b（a²+b²-c²）=c（a²+c²-b²），
整理得：a²b-a²c+b³-c³+b²c-bc²=0，即a²（b-c）+（b-c）（b²+bc+c²）+bc（b-c）=0，
∴（b-c）（a²+b²+2bc+c²）=0，即（b-c）[a²+（b+c）²]=0，
∴b=c，
則△ABC為等腰三角形；
（2）設(shè)AD=DC=m，則AB=2m，
根據(jù)余弦定理得：cosA=

AB2+AD2-BD2

2AB•AD

=

4m2+m2-3

2×2m×m

=

5m2-3

4m2

，
∴sinA=

1-cos2A

=

-9m4+30m2-9

4m2

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•ACsinA=

1

2

×2m×2m×

-9m4+30m2-9

4m2

=

-9m4+30m2-9

2

=

-9(m2- 5 3 )2+16

2

，

則當(dāng)m²=

5

3

時(shí)，（S_△ABC）_max=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．