(2012•瀘州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=loga
1+x
1-x
(a>0且a≠1)

(I)求f(m)+f(n)-f(
m+n
1+mn
)
的值;
(II)若關(guān)于x的方程loga
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=f(x)
在x∈[0,1)上有實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍.
(III)若f(x)的反函數(shù)f-1(x)的圖象過點(1,
1
3
)
,求證:f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)>n-
47
30
分析:(I)直接把變量代入,整理即可得到結(jié)論;
(II)先把所求問題轉(zhuǎn)化為t=(1+x)(2x2-5x+5),在x∈[0,1)上有實數(shù)解,通過求其導(dǎo)數(shù),即可求出其最大最小值,進而得到結(jié)論.
(III)先根據(jù)條件求出a,再結(jié)合放縮法即可得到結(jié)論的證明.
解答:解:(I)f(m)+f(n)-f(
m+n
1+mn
)

=loga
1+m
1-m
+loga
1+n
1-n
-f(
m+n
1+mn

=loga
1+m
1-m
1+n
1-n
)-f(
m+n
1+mn

=loga
1+mn+(m+n)
1+mn-(m+n)
-f(
m+n
1+mn

=loga
1+
m+n
1+mn
1-
m+n
1+mn
-f(
m+n
1+mn

=f(
m+n
1+mn
)-f(
m+n
1+mn

=0.
(II)因為關(guān)于x的方程loga
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=f(x)
在x∈[0,1)上有實數(shù)解,
所以:loga
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=loga
1+x
1-x

所以:
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=
1+x
1-x
在x∈[0,1)上有實數(shù)解;
所以:t=(1+x)(2x2-5x+5),在x∈[0,1)上有實數(shù)解,
因為:t′=6x(x-1),且x∈[0,1)時,t′(x)<0,
所以:t(x)在[0,1)上單調(diào)遞減,
所以:t(1)<t(x)≤t(0),即4<t≤5,
所以:實數(shù)t的取值范圍是:t(4,5].
(III)因為f-1(x)的圖象過點(1,
1
3
)
,
所以:
1
3
=
a-1
a+1
,解得a=2.
所以:f-1(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
;
得:1-f-1(x)=
2
2x+1
;
當(dāng)n≥3時,
所以:(1-f-1(1))+(1-f-1(2))+(1-f-1(3))+…+(1-f-1(n))
=
2
21+1
+
2
22+1
+
2
23+1
+…+
2
2n+1

<2(
1
3
+
1
5
+
1
23
+…+
1
2n

=2(
1
3
+
1
5
+
1
4
(1-
1
2n-2
)

<2(
1
3
+
1
5
+
1
4
)=
47
30

所以:f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)>n-
47
30

因為:當(dāng)n=1或n=2時,f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)>n-
47
30
成立.
f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)>n-
47
30
對所有的正整數(shù)n成立.
點評:本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減.其中涉及到不等式的證明.
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3
)
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