Question

5．如圖1，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E為CD上一點，F(xiàn)為BE的中點，且DE=1，EC=2，現(xiàn)將梯形沿BE折疊（如圖2），使平面BCE⊥ABED．
（1）求證：平面ACE⊥平面BCE；
（2）能否在邊AB上找到一點P（端點除外）使平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$？若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據線面垂直的判定定理即可證明AE⊥平面BCE；
（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關系即可得到結論．

解答 （1）證明：在直角梯形ABCD中，作DM⊥BC于M，連接AE，
則CM=2-1=1，CD=DE+CE=1+2=3，
則DM=AB=2$\sqrt{2}$，cosC=$\frac{1}{3}$，則
BE=$\sqrt{4+4-2×2×2×\frac{1}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，sin∠CDM=$\frac{1}{3}$，
則AE=$\sqrt{1+2-2×1×1×\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，（2分）
∴AE²+BE²=AB²，
故AE⊥BE，且折疊后AE與BE位置關系不變…（4分）
又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，
∴AE⊥面BCE，
∵AE?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）
（2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F(xiàn)為BE的中點
∴CF⊥BE
又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，
∴CF⊥面ABED，
故可以F為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系
則A（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），C（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），E（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
易求得面ACE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，-$\sqrt{2}$，1）…（8分）
假設在AB上存在一點P使平面ACE與平面PCF，
所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，（λ∈R），
∵B（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），
 故$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$λ，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$λ，0），
又$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴$\overrightarrow{CP}$=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$（1-λ），$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（2λ-1），-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
又 $\overrightarrow{FC}$=（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
 設面PCF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\\{\frac{2\sqrt{6}}{3}（1-λ）x-\frac{2\sqrt{3}}{3}（2λ-1）y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$
令x=2λ-1得$\overrightarrow{n}$=（2λ-1，$\sqrt{2}$（λ-1），0）…（10分）
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|2（λ-1）|}{\sqrt{3}•\sqrt{（2λ-1）^{2}+2（λ-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$…（12分）
因此存在點P且P為線段AB中點時使得平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（13分）

點評 本題主要考查空間線面垂直的判定以及空間二面角的計算和應用，建立空間坐標系利用向量法是解決本題的關鍵．